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Übungsaufgaben mit Musterlösungen zur Statistik: Median, Quartile und Modus

(Der Blog-Beitrag zu dieser Übung findet sich hier.)

Median und Quartile

Im Rahmen eines Lebensmittelprodukttests werden 25 Probandinnen und Probanden gebeten, den Geschmack eines neuen Joghurts auf einer Skala von 1 („hervorragend“) bis 5 („scheußlich“) zu bewerten. Der Test erbringt die folgenden Daten:

Beispiel Mittelwert

a) Bestimmen Sie den Median.
b) Bestimmen Sie den Interquartilsabstand.

Modus

Im Rahmen einer Qualitätsstichprobe werden 100 vom Band laufende Maschinenteile einer Kontrolle (Abweichung des Durchmessers von der zu erfüllenden Norm in mm) unterzogen. Die Stichprobenziehung erbringt die folgenden Daten.

Beispiel Mittelwert

a) Bestimmen Sie den Modus.

Lösungen der Übungsaufgaben

Median und Quartile

Im Rahmen eines Lebensmittelprodukttests werden 25 Probandinnen und Probanden gebeten, den Geschmack eines neuen Joghurts auf einer Skala von 1 („hervorragend“) bis 5 („scheußlich“) zu bewerten. Der Test erbringt die folgenden Daten:

Beispiel Mittelwert

a) Bestimmen Sie den Median.

Die geordnete Verteilung sieht wie folgt aus:
1; 1; 1; 1; 1; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 3; 3; 4; 5; 5; 5; 5; 5; 5

Bei einer geraden Anzahl von Werten wird das arithmetische Mittel der beiden „mittigen“ Werte gebildet:

Median gerade

(x10 + x11) / 2 = (2 + 2) / 2 = 2

Der Median dieser Verteilung liegt bei 2.

b) Bestimmen Sie den Interquartilsabstand.

Zur Bestimmung des IQR werden das 25%-Perzentil sowie das 75%-Perzentil benötigt.

(0,25 * 20) = 5 -> ganzzahliger Wert -> k = 5
(0,75 * 20) = 15 -> ganzzahliger Wert -> k = 15

Perzentil Formel ganzzahlig

p0,25 = (x5 + x6) / 2 = (1 + 2) / 2 = 1,5
p0,75 = (x15 + x16) / 2 = (5 + 5) / 2 = 5

Der Interquartilsabstand dieser Verteilung beträgt 3,5 (5 – 1,5).

Modus

Im Rahmen einer Qualitätsstichprobe werden 100 vom Band laufende Maschinenteile einer Kontrolle (Abweichung des Durchmessers von der zu erfüllenden Norm in mm) unterzogen. Die Stichprobenziehung erbringt die folgenden Daten.

Beispiel Mittelwert

a) Bestimmen Sie den Modus.

Dass der Modus in der Klasse [1 mm – 5 mm) liegt, scheint evident zu sein. Allerdings gilt es in diesem Fall zu beachten, dass die obere Klasse nicht die gleiche Breite wie die drei unteren Klassen aufweist. Dieser Sonderfall wurde im Blogbeitrag nicht besprochen, kann aber leicht in der entsprechenden Fachliteratur sowie im Netz recherchiert werden. Zu bestimmen ist in dieser Situation die Klassenhöhe:

Beispiel Mittelwert

Geht man von einer Gleichverteilung der Werte innerhalb der Klasse aus (was man, da keine genaueren Daten vorliegen, tun muss), ist tatsächlich 0 mm und nicht [1 mm – 5 mm) als Modus zu benennen. Zwar verfügt die Klasse [1 mm – 5 mm) über deutlich mehr Werte, ist aber auch erheblich breiter, so dass sich die 62 Werte entsprechend breit verteilen (auf 15,5 Werte pro diskretem Wert – betrachtet man die Daten sinnvollerweise als stetig, ist die Verteilung entsprechend breiter), während die 17 Werte in der oberen Klasse allein dem (diskreten) Wert 0 mm zugeordnet werden.


Die hier vorgestellten Inhalte und Aufgaben sind Teil der Vorlesung „Grundlagen der Statistik“ im berufsbegleitenden Bachelor-Studiengang Betriebswirtschaftslehre an der Hochschule Harz.