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Übungsaufgabe zum Satz von Bayes: Suche nach Gendefekten

AUFGABE

Mit Hilfe eines neuartigen Gen-Tests kann die Wahrscheinlichkeit bestimmt werden, mit der eine untersuchte Person im hohen Alter an Demenz erkrankt wird. Die Sicherheit des Tests liegt bei 96%. Die Forschung geht davon aus, dass die genetischen Voraussetzungen für Demenz im hohen Alter in etwa 30% der Bevölkerung vorhanden sind. Einem zufällig ausgewählten Patienten wird nach Durchführung des Gen-Tests mitgeteilt, dass die genetischen Voraussetzungen für Demenz im hohen Alter bei ihm nicht vorliegen. Mit welcher Sicherheit darf er sich nun beruhigt fühlen?

Pfeil

MUSTERLÖSUNG

Hier lohnt sich der Blick auf die Eintrittswahrscheinlichkeit aller vier Pfade im Diagramm:

Person hat Gen, Test schlägt an: 0,30 * 0,96 = 0,288 = 28,8%
Person hat Gen, Test schlägt nicht an: 0,30 * 0,04 = 0,012 = 1,2%
Person hat Gen nicht, Test schlägt an: 0,70 * 0,04 = 0,028 = 2,8%
Person hat Gen nicht, Test schlägt nicht an: 0,70 * 0,96 = 0,672 = 67,2%

Zur Probe: Die Summe aller Pfadergebnisse muss (siehe 2. Axiom von Kolmogoroff) wieder 100% ergeben.

-> 28,8% + 1,2% + 2,8% + 67,2% = 100% -> passt!

Relevant für die Aufgabe sind alle Fälle, in denen der Test nicht anschlägt. Dies ist bei 67,2% + 1,2% = 68,4% aller Untersuchungen der Fall. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Nicht-Anschlagen eines Tests auch ein Nicht-Vorliegen der genetischen Voraussetzung bedeutet, liegt somit bei:

67,2% / 68,4% = 98,2%

Der Patient kann sich also erfreulicherweise mit sehr hoher Wahrscheinlichkeit sicher sein, das genetische Merkmal tatsächlich nicht zu besitzen.

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Diese Übungsaufgabe stammt aus der Vorlesung “Grundlagen der Statistik” von Christian Reinboth im berufsbegleitenden Bachelor-Studiengang BWL an der Hochschule Harz.